任何一个理智的青年人，只要它不是atropos(希腊语：不可改变，坚定的；另一释义：致命的，决定死亡的)，都会在反复思虑后同意下面的观点：如果自己的工作是值得的，那它将经得起这样的勘察而不会因之有半分损耗：即勘察自身在人类思想这张地图上的位置和走向，从外审视自身。
为了找到一个好的勘察角度，先看两种说法。第一种说法认为，现代数学因其抽象性而失掉了在现实中的应用，或不如说，在现实中的对应。然而，值得提醒的另一个趋势是，以数学（尤其是基础数学，尽管这个称呼之后再议）为专业的学生往往自豪地认为，数学正是因其无可争议的普适性而作用于任何对象，不论它是否处于可能的想象之中。
对于上面的第一种说法，它再怎么诡辩也无法否认普通层次的数学是有现实对应的。比如说，人在现实中行走，通过所需时间和气力的经验考量，会虔诚地相信直线是最短的、人能在现实中认识到被合法地称为圆形的物体。至于第二种说法，则引导我们考察数学的立足点究竟是什么。如果数学毕竟不是立足于超越现实的某种东西，那么这种托大的说法就应当被取消了。
总的提醒是，当我们谈论“现实”，应理解成可被感官接受的对象，即现象界，而非思维到达不了的自在之物。而“先天”基本等于“不因具体经验而改变；普遍”的意思。数学在现实中有对应，则意味着我们用来接受对象刺激的感性，以及用来思维对象的知性，与数学知识有着一致性。
让我们回溯一下数学的根基。先来看最朴素也是人类运用最多的欧氏几何，这种数学知识的公理被我分为依赖空间直观的公理（比如Hilbert公理体系中关联公理第3条“任一直线至少跟两点相关联，且至少跟一点不关联”）和依赖算术直观的公理（比如《几何原本》5条公理的第1条“与同一量相等的量彼此相等”），建筑术则是纯粹的形式逻辑，换言之并不仅仅是“逻辑上满足的规律”。
之所以说依赖空间直观，是因为这些公理实际上完全独立于经验：你可以反驳说最初的人类是通过反复的观察得出“三角形两边之和大于第三边”这条规律的，但是无论你做何种情景想象，是测量三条直树枝的长度还是测量沙地上划出的一个三角形的三边长，这种情景（树枝的表象、刻痕的表象）在本质上都可以撤掉，因此我们只是在直观一个空间本身，而不需要空间中出现任何经验物体来得出这么一条规律。在我们讨论的时空观中，对空间的这种直观是先天就有的，它是我们用来整理我们获得的感觉的形式。
算术直观则和时间有关，也是我们先天具有并用来整理感觉的形式，但时间与算术的这种先验联结比空间费解地多，康德所作的阐释是，当我们数数时，我们是先天地表象出均匀片段的时间，每在既有基础上增加一个数，就是多占据一段时间。形式逻辑的先天（独立于经验）性则非常容易理解，它是我们对经验材料作任何关联的先天法则。以上讨论实际上声明了欧氏几何完全由我们先天的感性和知性所建构，它包含于我们用来处理感觉和经验材料的那种先验能力之内。
如果把眼光放广阔一些，近现代数学中广为承认的一些公理，比如选择公理，已经值得怀疑地超越感性而到达了知性的层次，但它仍可以视为先天的。就算认定有一些公理并非先天的，这些特殊的公理所属的数学分支也会因为离直观太远而无法用来认识通常的世界。 因此，如果承认数学就是上面说的先验能力的一部分（毋宁说，数学是人类用来接触和处理经验材料的先天形式），那么第一种说法承认的对应便得到了满意的理解。
现在留给我们的问题是第二个说法的合理与否。在刚才的讨论中，我们表明了数学至少就其主要分支而言是隶属于先验感性的。在这个前提下，一个对象A能被数学作用其上，A必须要能在若干形式逻辑推理之后化为对空间或时间的直观。例如，一个仅仅被理性建构的对象是绝不可能被作用的。
这种限制虽然不能构成对第二个说法有力的反驳，但至少可以作为某种约束：至少在这种哲学设定下，数学并不是被推到唯一王位上的一门全能的学科，而至多是和众侍卫各司其职的一门专能的学科，因为与其相比，自然科学可以接触更多的知性，形而上学可以接触更多的理性。
现在我们可以负责任地给出如下的小结：如果认为只有人先天拥有的东西才是正确的，那么数学就是研究这种东西的学科，而物理学总是要引入因果性范畴和具体经验的。数学是最谨小慎微的一门学科，它绝不受到现象界的诱惑而冒险扩大自己的领地，而只研究人认识事物的先天形式，以此为代价得到的结论也最精确。
到了这一步，如果不作阐明，生出下面的误会是十分正常的：数学对象都对应到人的直观吗？我想大部分数学系的学生都不会承认这点：我们日常接触的那一堆鬼画符只有在少数极其幸运的情况下找的到直观。就比如说，费马大定理，虽然被证明了，但是我绝不相信人类在灭绝之前就能进化到把它想象成一种直观就能获得之物。为什么在这一点上它和我们刚才阐述的欧氏几何不一样？因为费马大定理的证明需要极其大量的形式逻辑充当砖材，而每一次应用形式逻辑（这种东西并不专属于人的感性或者知性，而是为它们共有的更基本的方法），我们的直观就折叠了一次，变得离我们仅借助感性就获得的原始空间直观越来越远了。
既然我们已经通过费马大定理的例子作出了这个问题的解答，那么我们便有足够的基础来理解人类为什么会有发展数学的欲望，至少是部分地理解。从根源上讲，这是一种扩大人类直观的方式：原来不具备的直观，经过数学的训练，将纳入直观之中，成为我们自身的一部分。例子是，学龄前的孩子大多是不知道有限与无限的分别的。他们的直观中要么没有量，要么就是一个已经完整地给予的量，比如三个苹果，一百棵树。他们是不具备直观“永远也给不完”这种概念的能力的。但是接触一定的数学（不一定是课上）之后便能理解这种事物。更进一步，高中生大多是不知道可数和不可数的分别的，他们直观中只有一种无限的概念，就是“永远穷尽不完”，但是经过训练的数学系学生会在看到这个术语的一瞬间就想象出这是两种区别巨大的无限，近似于可以完整表示和不能完整表示的差别。对于后者，大多数情况下我们只能采取一些十分暧昧的论证方法去回避，而根本无法直接表达它。
当我们的直观扩大以后，我们获得了更多种直观以及它们的组合去捕捉更多的事物，尤其是自然界的，或者自然科学构造出的事物，而不必事事都通过形式逻辑拆解为最原始的直观。而纯粹数学的前沿学者每日的工作便是声明一些结论，这些结论他们相信终有一天能够被勤奋的人类扩进自己的直观之中，如果我们拥有足够长的时间来训练自己的感性的话。在这个层面上，他们和所有精神层面的工作者一样，只有唯一的敌人，即人类身体的羸弱。而这个敌人他们永远无法战胜。